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2019年四川省简阳市九年级上册期末考试数学试题(有答案)[精编]

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四川省简阳市九年级上学期期末考试数学试题

一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1.下面计算正确的是( )

A.

B.

C.

D.

2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,则△ABC 与△DEF 的面积比为( )

A.1:4

B.4:1

C.1:2

D.2:1

3.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则

化简后为( )

A.7

B.﹣7

C.2a﹣15

4.关于的方程 22+m+n=0 的两个根是﹣2 和 1,则 nm 的值为(

A.﹣8

B.8

C.16

D.无法确定 )
D.﹣16

5.如图,一辆小车*露任 的斜坡向上行驶 13 米,则小车上升的高度是( )

A.5 米

B.6 米

C.6.5 米

D.12 米

6.如果一元二次方程 22+3+m=0 有两个相等的实数根,那么实数 m 的取值为( )

A.m>

B.m

C.m=

D.m=

7.如图,菱形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将△CDE 沿 CE 折叠后,点 A 和点 D 恰好重合,若菱形 ABCD 的面 积为 4 ,则菱形 ABCD 的周长是( )

A.8

B.16

C.8

D.16

8.如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与

原三角形不相似的是( )

A.

B.

C.

D.

9.某校举行“激情五月,唱响青春”为主题的演讲比赛,决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学,则 甲、乙同学获得前两名的概率是( )

A.

B.

C.

D.

10.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A、B、O 都在格点上,则∠AOB 的正弦值是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 3 分,满分 18 分)

11.如果:y=1:2,那么 =



12.设 m、n 是一元二次方程 2+2﹣7=0 的两个根,则 m2+3m+n=



13.如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似,位似中心点是 O, = ,则 =



14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,

其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值

构造正方形,再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个…正方形拼成如上长方形,若按此规律继

续作长方形,则序号为⑦的长方形周长是



15.如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan∠BA1C=1,tan∠BA2C= ,tan∠BA3C= ,

计算 tan∠BA4C=

,…按此规律,写出 tan∠BAnC=

(用含 n 的代数式表示).

16.如图,在矩形 ABCD 中,∠B 的*分线 BE 与 AD 交于点 E,∠BED 的*分线 EF 与 DC 交于点 F,若 AB=

9,DF=2FC,则 BC=

.(结果保留根号)

三.解答题(本大题共 6 题,满分 72 分) 17.(10 分)(1)计算: (2)解分式方程: 18.(6 分)如图是从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃 1,2,3,4 和方块 1,2,3,4,将它们背
面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于 5 的概率是 多少?请你用列表法加以分析说明.
19.(8 分)已知双曲线 y= 和直线 y=+2 相交于点 A(1,y1)和点 B(2,y2),且 12+22=10,求的值. 20.(8 分)如图是一辆小汽车与墙*行停放的*面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN *行且距离为 0.8
米.已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米,当车门打开角度∠AOB 为 40°时,车门是否会碰到墙?请说明理 由.(参考数据:sin40°≈0.64;cos40°≈0.77;tan40°≈0.84)
21.(10 分)我市某楼盘准备以每*方米 8000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台 后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每*方米 6480 元的均价开盘销售
(1)求*均每次下调的百分率. (2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 *方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择: ①打 9.8 折销售;

②不打折,一次性送装修费每*方米 80 元. 试问哪种方案更优惠? 22.(10 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,若 AB=5,AE=2,AC=3+2,
AD=2+1,求 BC 的长.
23.(10 分)如图,在直角梯形 OABC 中,BC∥AO,∠AOC=90°,点 A,B 的坐标分别为(5,0),(2,6), 点 D 为 AB 上一点,且 BD=2AD,双曲线 y= (>0)经过点 D,交 BC 于点 E.
(1)求双曲线的解析式; (2)求四边形 ODBE 的面积.
24.(10 分)如图,已知四边形 ABCD 是矩形,cot∠ADB= ,AB=16.点 E 在射线 BC 上,点 F 在线段 BD 上,且∠DEF=∠ADB.
(1)求线段 BD 的长; (2)设 BE=,△DEF 的面积为 y,求 y 关于的函数关系式,并写出函数定义域; (3)当△DEF 为等腰三角形时,求线段 BE 的长.

一、选择题

参考答案

1.下面计算正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据二次根式的混合运算方法,分别进行运算即可. 解:A.3+ 不是同类项无法进行运算,故 A 选项错误;

B.

= = =3,故 B 选项正确;

C. × =

= ,故 C 选项错误;

D.∵



=2,故 D 选项错误;

故选:B.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算,熟练化简二次根式后,在加减的过程中,有同类二次根式

的要合并;相乘的时候,被开方数简单的直接让被开方数相乘,再化简;较大的也可先化简,再相乘,

灵活对待. 2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,则△ABC 与△DEF 的面积比为( )

A.1:4

B.4:1

C.1:2

D.2:1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的*方计算即可. 解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为 1:2,

∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1:4,

故选:A.

【点评】此题考查了相似三角形的性质,熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

3.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则

化简后为( )

A.7

B.﹣7

C.2a﹣15

D.无法确定

【分析】先从实数 a 在数轴上的位置,得出 a 的取值范围,然后求出(a﹣4)和(a﹣11)的取值范围,

再开方化简. 解:从实数 a 在数轴上的位置可得, 5<a<10, 所以 a﹣4>0, a﹣11<0,





=a﹣4+11﹣a,

=7. 故选:A.

【点评】本题主要考查了二次根式的化简,正确理解二次根式的算术*方根等概念. 4.关于的方程 22+m+n=0 的两个根是﹣2 和 1,则 nm 的值为( )

A.﹣8

B.8

C.16

D.﹣16

【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出 m、n 的值,将其代入 nm 中即可求出结论.

解:∵关于的方程 22+m+n=0 的两个根是﹣2 和 1,

∴﹣ =﹣1, =﹣2,
∴m=2,n=﹣4, ∴nm=(﹣4)2=16. 故选:C. 【点评】本题考查了根与系数的关系,根据方程的两根结合根与系数的关系求出 m、n 的值是解题的关键.
5.如图,一辆小车*露任 的斜坡向上行驶 13 米,则小车上升的高度是( )

A.5 米

B.6 米

C.6.5 米

D.12 米

【分析】在 Rt△ABC 中,设 BC=5,AC=12,利用勾股定理求出即可解决问题;

解:作 BC⊥AC.

在 Rt△ABC 中,∵AB=13m,BC:AC=5:12, ∴可以假设:BC=5,AC=12, ∵AB2=BC2+AC2, ∴132=(5)2+(12)2, ∴=1, ∴BC=5m, 故选:A. 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,
属于中考常考题型. 6.如果一元二次方程 22+3+m=0 有两个相等的实数根,那么实数 m 的取值为( )

A.m>

B.m

C.m=

D.m=

【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=9﹣8m=0,解之即可得出结论. 解:∵一元二次方程 22+3+m=0 有两个相等的实数根,

∴△=32﹣4×2m=9﹣8m=0,
解得:m= .
故选:C. 【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△=0 时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键. 7.如图,菱形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将△CDE 沿 CE 折叠后,点 A 和点 D 恰好重合,若菱形 ABCD 的面
积为 4 ,则菱形 ABCD 的周长是( )

A.8

B.16

C.8

D.16

【分析】先证明△ADC 是等边三角形,根据锐角三角函数得出 CE= CD,由菱形的面积求出 CD,即可得

出周长. 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=CD, 又∵CD=AC, ∴AD=CD=AC, 即△ADC 是等边三角形, ∴∠D=60°,

∴CE=CD?sin60°= CD,

∵菱形 ABCDABCD 的面积=AD?CE= CD2=4 ,
∴CD=2 , ∴菱形 ABCD 的周长为 2 ×4=8 ; 故选:A. 【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换以及锐角三角函数的运用;证明△ADC 是等边三角形,根据面
积求出边长是解决问题的关键. 8.如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与
原三角形不相似的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确. D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误; 故选:C. 【点评】本题考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 9.某校举行“激情五月,唱响青春”为主题的演讲比赛,决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学,则
甲、乙同学获得前两名的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式即可求出该事 件的概率.
解:画树状图得:

∴一共有 12 种等可能的结果,甲、乙同学获得前两名的有 2 种情况,
∴甲、乙同学获得前两名的概率是 = ;
故选:D. 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 10.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A、B、O 都在格点上,则∠AOB 的正弦值是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】作 AC⊥OB 于点 C,利用勾股定理求得 AC 和 AO 的长,根据正弦的定义即可求解.

解:作 AC⊥OB 于点 C. 则 AC= ,

AO=

= =2 ,

则 sin∠AOB= = = . 故选:D.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边 比斜边,正切为对边比邻边.
二、填空题(本大题共 6 题,每题 3 分,满分 18 分)个

11.如果:y=1:2,那么 =



【分析】根据合比性质,可得答案.

解: +1= +1,即 = .

故答案为: .

【点评】本题考查了比例的性质,利用了和比性质: = ? = .
12.设 m、n 是一元二次方程 2+2﹣7=0 的两个根,则 m2+3m+n= 5 . 【分析】根据根与系数的关系可知 m+n=﹣2,又知 m 是方程的根,所以可得 m2+2m﹣7=0,最后可将 m2+3m+n
变成 m2+2m+m+n,最终可得答案. 解:∵设 m、n 是一元二次方程 2+2﹣7=0 的两个根, ∴m+n=﹣2, ∵m 是原方程的根, ∴m2+2m﹣7=0,即 m2+2m=7, ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5, 故答案为:5. 【点评】本题主要考查了根与系数的关系,解题的关键是把 m2+3m+n 转化为 m2+2m+m+n 的形式,结合根与
系数的关系以及一元二次方程的解即可解答.

13.如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似,位似中心点是 O, = ,则 =



【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,进而得出答案. 解:如图所示: ∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似, ∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC, ∴ = =,
∴ = =.
故答案为: . 【点评】此题主要考查了位似变换,正确得出相似比是解题关键. 14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,
其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值 构造正方形,再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个…正方形拼成如上长方形,若按此规律继 续作长方形,则序号为⑦的长方形周长是 110 .
【分析】根据图示规律,依次写出相应序号的矩形的宽与长,便不难发现,下一个矩形的宽是上一个矩形 的长,长是上一个矩形的长与宽的和,然后写到序号为⑧的矩形宽与长,再根据矩形的周长公式计算 即可得解.
解:由图可知,序号为①的矩形的宽为 1,长为 2, 序号为②的矩形的宽为 2,长为 3,3=1+2, 序号为③的矩形的宽为 3,长为 5,5=2+3, 序号为④的矩形的宽为 5,长为 8,8=3+5, 序号为⑤的矩形的宽为 8,长为 13,13=5+8, 序号为⑥的矩形的宽为 13,长为 21,21=8+13, 序号为⑦的矩形的宽为 21,长为 34,34=13+21,

所以,序号为⑦的矩形周长=2(34+21)=2×55=110. 故答案为:110. 【点评】考查了图形的变化类问题,要想得到长方形的周长规律,应先找长方形长、宽的变换规律.分析
图形中的长和宽,然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律.
15.如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan∠BA1C=1,tan∠BA2C= ,tan∠BA3C= ,

计算 tan∠BA4C=

,…按此规律,写出 tan∠BAnC=

(用含 n 的代数式表示).

【分析】作 CH⊥BA4 于 H,根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出 CH、A4H,根据正切的

概念求出 tan∠BA4C,总结规律解答.

解:作 CH⊥BA4 于 H,

由勾股定理得,BA4=

= ,A4C= ,

△BA4C 的面积=4﹣2﹣ = ,

∴ × ×CH= ,

解得,CH= ,

则 A4H=





∴tan∠BA4C=
1=12﹣1+1, 3=22﹣2+1, 7=32﹣3+1,

=,

∴tan∠BAnC=



故答案为: ;



【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念,掌握正方形的性质、熟记锐角三

角函数的概念是解题的关键.

16.如图,在矩形 ABCD 中,∠B 的*分线 BE 与 AD 交于点 E,∠BED 的*分线 EF 与 DC 交于点 F,若 AB=

9,DF=2FC,则 BC=

.(结果保留根号)

【分析】先延长 EF 和 BC,交于点 G,再根据条件可以判断三角形 ABE 为等腰直角三角形,并求得其斜边

BE 的长,然后根据条件判断三角形 BEG 为等腰三角形,最后根据△EFD∽△GFC 得出 CG 与 DE 的倍数关

系,并根据 BG=BC+CG 进行计算即可. 解:延长 EF 和 BC,交于点 G

∵矩形 ABCD 中,∠B 的角*分线 BE 与 AD 交于点 E,

∴∠ABE=∠AEB=45°, ∴AB=AE=9,

∴直角三角形 ABE 中,BE=

=,

又∵∠BED 的角*分线 EF 与 DC 交于点 F,

∴∠BEG=∠DEF ∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G ∴BG=BE=

由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC



设 CG=,DE=2,则 AD=9+2=BC ∵BG=BC+CG ∴ =9+2+ 解得= ∴BC=9+2( ﹣3)= 故答案为:

【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形,解决问题的关键是掌握矩形的性质:矩形的 四个角都是直角,矩形的对边相等.解题时注意:有两个角对应相等的两个三角形相似.
三.解答题(本大题共 6 题,满分 72 分) 17.(10 分)(1)计算:
(2)解分式方程: 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题; (2)根据解分式方程的方法可以解答此方程. 解:(1)


= +2
=;
(2) 方程两边同乘以(+1),得 3=(+1)﹣3 去括号,得 3=2+﹣3 移项及合并同类项,得 2﹣2﹣3=0 ∴(﹣3)(+1)=0, 解得,1=3,2=﹣1, 经检验,=3 时原分式方程的根,=﹣1 不是原分式方程的根, ∴原分式方程的根是=3. 【点评】本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、解分式方程,解答本题的关键是明确它们
各自的计算方法.

18.(6 分)如图是从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃 1,2,3,4 和方块 1,2,3,4,将它们背 面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于 5 的概率是 多少?请你用列表法加以分析说明.

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的

概率.

解:可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和:

方块

1

2

3

4

黑桃

1

1+1=2

2+1=3

3+1=4

4+1=5

2

1+2=3

2+2=4

3+2=5

4+2=6

3

1+3=4

2+3=5

3+3=6

4+3=7

4

1+4=5

2+4=6

3+4=7

4+4=8

由上表可知,共有 16 种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于 5 的情况共出

现 4 次,因此牌面数字之和等于 5 的概率为 = .

【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.概率=所求情况数与 总情况数之比.

19.(8 分)已知双曲线 y= 和直线 y=+2 相交于点 A(1,y1)和点 B(2,y2),且 12+22=10,求的值.

【分析】由

,消去 y 得到:2+2﹣2=0,根据 12+22=10,利用根与系数的关系构建方程求出即可;

解:由

,消去 y 得到:2+2﹣2=0,

由题意:1+2=﹣ ,12=﹣ , ∵12+22=10, ∴(1+2)2﹣212=10,
∴ + =10,

解得=



经检验=

是分式方程的解.

∴=



【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的根与系数的关系等知识,解题的关 键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
20.(8 分)如图是一辆小汽车与墙*行停放的*面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN *行且距离为 0.8 米.已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米,当车门打开角度∠AOB 为 40°时,车门是否会碰到墙?请说明理 由.(参考数据:sin40°≈0.64;cos40°≈0.77;tan40°≈0.84)

【分析】过点 A 作 AC⊥OB,垂足为点 C,解三角形求出 AC 的长度,进而作出比较即可. 解:过点 A 作 AC⊥OB,垂足为点 C, 在 Rt△ACO 中, ∵∠AOC=40°,AO=1.2 米, ∴AC=sin∠AOC?AO≈0.64×1.2=0.768, ∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN *行且距离为 0.8 米, ∴车门不会碰到墙.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键是正确添加辅助线,此题难度不大. 21.(10 分)我市某楼盘准备以每*方米 8000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台
后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每*方米 6480 元的均价开盘销售 (1)求*均每次下调的百分率. (2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 *方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:

①打 9.8 折销售; ②不打折,一次性送装修费每*方米 80 元. 试问哪种方案更优惠? 【分析】(1)设出*均每次下调的百分率为,利用准备每*方米销售价格×(1﹣每次下调的百分率)2
=开盘每*方米销售价格,列方程解答即可; (2)分别利用两种销售方式求出房子的优惠价,进而得出答案. 解:(1)设*均每次下调的百分比为, 由题意得:8000(1﹣)2=6480, 解得:1=0.1=10%,2=1.9(不合题意,舍去), 所以*均每次下调的百分率为 10%;
(2)方案①购房优惠:6480×100×(1﹣0.98)=12960(元); 方案②可优惠:80×100=8000(元). 故选择方案①更优惠. 【点评】此题考查了一元二次方程的应用,基本数量关系:准备每*方米销售价格×(1﹣每次下调的百
分率)2=开盘每*方米销售价格. 22.(10 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,若 AB=5,AE=2,AC=3+2,
AD=2+1,求 BC 的长.

【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案. 解:∵DE⊥AB, ∴∠AED=∠C=90°, ∵∠A=∠A,









∴42﹣7﹣2=0,

∴=2 或= (舍去),
∴AB=10,AC=8, ∴由勾股定理可知:BC=6. 【点评】本题考查相似三角形,涉及一元二次方程的解法,相似三角形的判定与性质,勾股定理,需要学

生灵活运用所学知识. 23.(10 分)如图,在直角梯形 OABC 中,BC∥AO,∠AOC=90°,点 A,B 的坐标分别为(5,0),(2,6),
点 D 为 AB 上一点,且 BD=2AD,双曲线 y= (>0)经过点 D,交 BC 于点 E. (1)求双曲线的解析式; (2)求四边形 ODBE 的面积.
【分析】(1)作 BM⊥轴于 M,作 DN⊥轴于 N,利用点 A,B 的坐标得到 BC=OM=2,BM=OC=6,AM=3, 再证明△ADN∽△ABM,利用相似比可计算出 DN=2,AN=1,则 ON=OA﹣AN=4,得到 D 点坐标为(4, 2),然后把 D 点坐标代入 y= 中求出的值即可得到反比例函数解析式;
(2)根据反比例函数的几何意义和 S 四边形 ODBE=S 梯形 S S ﹣ ﹣ OABC △OCE △OAD 进行计算. 解:(1)作 BM⊥轴于 M,作 DN⊥轴于 N,如图, ∵点 A,B 的坐标分别为(5,0),(2,6), ∴BC=OM=2,BM=OC=6,AM=3, ∵DN∥BM, ∴△ADN∽△ABM, ∴ = = ,即 = = , ∴DN=2,AN=1, ∴ON=OA﹣AN=4, ∴D 点坐标为(4,2), 把 D(4,2)代入 y= 得=2×4=8, ∴反比例函数解析式为 y= ;
(2)S 四边形 ODBE=S 梯形 S S ﹣ ﹣ OABC △OCE △OAD = ×(2+5)×6﹣ ×|8|﹣ ×5×2 =12.

【点评】本题考查了反比例函数综合题:熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意 义和梯形的性质;理解坐标与图形的性质;会运用相似比计算线段的长度.
24.(10 分)如图,已知四边形 ABCD 是矩形,cot∠ADB= ,AB=16.点 E 在射线 BC 上,点 F 在线段 BD
上,且∠DEF=∠ADB. (1)求线段 BD 的长; (2)设 BE=,△DEF 的面积为 y,求 y 关于的函数关系式,并写出函数定义域; (3)当△DEF 为等腰三角形时,求线段 BE 的长.

【分析】(1)由矩形的性质和三角函数定义求出 AD,由勾股定理求出 BD 即可;

(2)证明△EDF∽△BDE,得出

,求出 CE=|﹣12|,由勾股定理求出 DE,即可得出结果;

(3)当△DEF 是等腰三角形时,△BDE 也是等腰三角形,分情况讨论: ①当 BE=BD 时;②当 DE=DB 时;③当 EB=ED 时;分别求出 BE 即可. 解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=90°,

在 Rt△BAD 中,

,AB=16,

∴AD=12∴



(2)∵AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC,

∵∠DEF=∠ADB, ∴∠DEF=∠DBC,

∵∠EDF=∠BDE,

∴△EDF∽△BDE,





∵BC=AD=12,BE=,

∴CE=|﹣12|,

∵CD=AB=16

∴在 Rt△CDE 中,













,定义域为 0<≤24

(3)∵△EDF∽△BDE, ∴当△DEF 是等腰三角形时,△BDE 也是等腰三角形, ①当 BE=BD 时 ∵BD=20, ∴BE=20 ②当 DE=DB 时, ∵DC⊥BE, ∴BC=CE=12, ∴BE=24; ③当 EB=ED 时,

作 EH⊥BD 于 H,则 BH=

,cos∠HBE=cos∠ADB,







解得:BE= ;

综上所述,当△DEF 时等腰三角形时,线段 BE 的长为 20 或 24 或 . 【点评】本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、三角函数定义、勾股定理、相似三角形的判定与性
质、等腰三角形的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形相似是解决问题的关键.




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